Функции и графики в 9 классе: как научиться читать график

Чтобы научиться читать график функции, нужно уметь отвечать на несколько стандартных вопросов: где функция равна нулю, где она положительна и отрицательна, где возрастает и убывает, какое у неё наибольшее и наименьшее значение. В 9 классе это проверяется на графиках прямой, параболы и гиперболы, и большинство заданий решаются не вычислениями, а внимательным взглядом на рисунок. Ученик, который знает, какой вопрос как «читается» по графику, решает такие задания за минуту.

Функция — это правило, по которому каждому значению x соответствует одно значение y. График — это все точки (x; y), которые подчиняются этому правилу, нарисованные на координатной плоскости. Если представить график как дорогу, то x — это то, где мы находимся по горизонтали, а y — высота над уровнем моря в этой точке.

Эта аналогия сразу помогает с большинством вопросов. Где функция равна нулю — где дорога на уровне моря, то есть пересекает ось x. Где функция возрастает — где дорога идёт в гору, если двигаться слева направо.

Главное правило: промежутки возрастания, убывания и знакопостоянства всегда записываются по оси x, а не по оси y. Это одна из самых частых ошибок: ученик видит, что график идёт вверх от y = −2 до y = 5, и записывает этот промежуток, хотя нужно было указать x.

Линейная функция y = kx + b. График — прямая. Коэффициент k отвечает за наклон: если k больше нуля, прямая идёт вверх, если меньше — вниз. Коэффициент b показывает, где прямая пересекает ось y.

Квадратичная функция y = ax² + bx + c. График — парабола. Если a больше нуля, ветви направлены вверх, если меньше — вниз. Вершина параболы — точка, где функция меняется с убывания на возрастание или наоборот. Её абсцисса находится по формуле x₀ = −b/(2a). Это главная функция 9 класса, и на неё приходится большинство заданий.

Обратная пропорциональность y = k/x. График — гипербола из двух ветвей. При k больше нуля ветви в первой и третьей четвертях, при k меньше нуля — во второй и четвёртой. Функция не определена при x = 0.

Это обратный навык, и он тоже нужен. Для параболы удобно задавать себе четыре вопроса: куда направлены ветви (знак a), где вершина (x₀ = −b/(2a)), где пересечение с осью y (это c), есть ли пересечения с осью x (дискриминант).

Например, y = x² − 4x + 3. Ветви вверх, так как a = 1. Вершина при x = 2, y = 4 − 8 + 3 = −1. Пересечение с осью y в точке 3. Нули — корни уравнения x² − 4x + 3 = 0, то есть 1 и 3. Четыре вопроса — и график можно нарисовать без таблицы значений.

Путают оси. Записывают промежутки по y вместо x или отвечают значением x, когда спрашивали значение функции.

Неверно используют скобки. Квадратные скобки, если точка входит в промежуток, круглые — если нет. На графике это обычно видно: закрашенная точка входит, пустая — нет.

Не обращают внимания на масштаб. Если клетка на графике равна не единице, а, например, двум, все значения нужно пересчитать.

Спешат. Многие задания на графики кажутся настолько простыми, что ученики отвечают за пять секунд и ошибаются. Полезная привычка — перед ответом ещё раз перечитать вопрос.

Задания на функции и графики есть и на экзамене по математике в 9 классе, и на ЦТ. В 10–11 классе появятся новые функции — тригонометрические, показательные, логарифмические, — но вопросы к ним будут те же: нули, возрастание, наибольшее значение. Если научиться читать графики в 9 классе, потом нужно будет только узнать, как выглядят новые кривые, а логика останется прежней.

Чем отличается область определения от области значений?
Область определения — все допустимые x, область значений — все y, которые функция принимает. Первая читается по оси x, вторая — по оси y.

Как быстро найти вершину параболы?
По формуле x₀ = −b/(2a), а затем подставить x₀ в формулу функции, чтобы найти y.

Нужно ли строить график по таблице значений?
Таблица полезна в начале, но удобнее строить параболу по вершине, направлению ветвей и нулям функции. Это быстрее и точнее.

Какие темы повторить, если графики не даются?
Координатную плоскость, линейную функцию и решение квадратных уравнений. Без них понимание параболы не складывается.